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第７回【人生、あたるも八卦、あたらぬも八卦】 (2001年1月) せっかく100年に一度のことだもの、やっぱりご挨拶は、 新世紀あけましておめでとうございます！ ほんとに21世紀がきちゃいました。なんとなく不思議な感じ。ま、すぐに慣れるでしょう。それにまだ今世紀の話は何もないので、前世紀のことなど。 20世紀のある日、あるパーティーに男女が集まった。その数、約15人。ある二人の男女の会話−−。 男「もうじき30歳でんねん」 女「私も再来週、誕生日なんです。来月の８日」 男「ええっ!? ごっつ奇遇やな。ぼくは７日やで」 女「わ、お隣さんなんだ。じゃあ、ご飯でも食べましょうか」 男「せやな。どこぞでパーっとやろか」 じつは、これ、私と同居人の初デートのきっかけだ。かように、我々は極めてまれな巡り合わせで出会ったのである。…って、ほんと？ ●運命の巡り合わせの真実は？ ふっふっふ。私は知っている。その場では話を合わせたが、何人か集まった中に同じ誕生日の人がいるのは、それほど珍しくないはずだ。ええと、具体的には…。あにゃ？ どうやるんだっけ。確率の話なんだけど。 数学はＸ線みたいなところもあるのかなと感じる本『カオスと偶然の数学 ランダムネス、確率、そして複雑性へ』(アイヴァース・ピーターソン著、白揚社)に、どんぴしゃりの解説があった。 たとえば、学校の同じクラスに同じ誕生日の２人がいる確率は、どれくらいだと思います？ １クラス23人としましょう。１年は365日。 この23人のクラスなら、なんと50％以上の確率で同じ誕生日の２人がいるんだって。でも、たいていの人がすごく低い確率を答えるんで、「誕生日のパラドックス」とも言われるくらいなのだ。 信じられない？ やってみましょう。 出席番号１番の安藤さんから。安藤さんは１年中いつ生まれてもいい。だから365/365で１。次に２番の井上さんが安藤さんと別の日に生まれる確率は、１×364/365でだいたい99.73％。これは２人が同じ誕生日の確率が、100−99.73＝0.27％ってこと。１％未満。たしかに珍しい。 では３番の上野さんを加えましょう。安藤さんとも井上さんとも別の日に生まれる確率は、１×364/365×363/365だから、99.18％になる。お、少し下がった。 人数が増えていけば、全員の誕生日が重ならない確率はどんどん下がる。計算を続ければ23人目の沼田さんあたりで、ほぅら49.27％と半分以下。つまり23人の中の少なくとも２人の誕生日が同じである確率が50％を超えたのだ。 ね。たいして珍しくないでしょ。とすると、15人も集まっていて、しかも同じ日より条件の緩い「１日違い」で感激した同居人はマヌケってことだね。 ●きちんと数えないと間違いのもと 以上のように人間の直観は、かなりあてになりません。 先の本の訳者がコンパクトに確率の話をまとめた図解本『確率』(今野紀雄著、ナツメ社)にも、ウッカリさん発見装置があった。 俳優Ｘ氏には子供が２人います。そのうちの一人は男の子。さて問題。残りの子供が女の子である確率はいくら？ 当然、男か女だから「２分の１」。はい、もちろん間違い。この子供の組合せは、 兄弟(♂・♂) 兄妹(♂・♀) 姉弟(♀・♂) 姉妹(♀・♀) の４通りだけど、考えるべきは「姉妹(♀・♀)」を除いた３通りになる。だって、必ず男の子がいるんだもん。３通りのうち２通りで女の子がいるから、答えは「３分の２」。 このミスは、男の子が上の子のときと下の子のときをちゃんと考えなかったから起こった。だから、もし問題が「Ｘ氏には子供が二人いて、第１子は男の子だった。それではその残りの子供(つまり第２子)が女の子である確率はいくら」なら、答えは２分の１となる。 どうでもいい、細かいこと、屁理屈みたい？ そんなことないよ。だって、著者も「考えるべき事がらをきちんと数え上げないと間違った結論を導くことになる」といってるけど、いろんな場合をちゃんと想定できるっていうのは、物事を決めるときにとても重要じゃない？ けっこう確率ってやつは、人の生き様にちょっかいだしているんだろうな。 ●確率論的に考えたら楽しそう 学校の数学では、統計と並んでどうも扱いが軽い確率だけど、世の中のそこここで顔を出してくる。宝くじは明らかに確率だし、雨降りも確率で示されるし、人の出会いにまで関係したり…。あ、これは個人的な事情ですね。 ただ身近な言葉なだけに、「確率ってなんだろう」と考え出すとずぶずぶと深みにはまっていく気もする。そんなことを思っていたら、腕に覚えのある人にはぜひ一度手にとってもらいたい教科書『確率・統計入門』(小針あき宏著、岩波書店)に、おもしろい練習問題があった。 「‘下手な鉄砲も数撃ちゃ当る’ということを、確率論的に説明せよ」 問題を見たときは、ちょっと驚いた。だって、この本は極めて個性的だけど、確実にちゃんとした大学生用の数学の教科書。なのにこれが章末問題って、なんか楽しくない？ さてさて、この答えね。「当る割合はそれ以前の結果に関係しないと仮定してよい」から、「当る」かどうかは鉄砲を撃つごとに決まる。これは独立ということだ。もしサイコロでいえば、サイコロ自身は前の目を覚えていない、ということ。メモリー付きサイコロは反則よ。 でもって、「当る確率pが0でない限り、n発撃って１発も当らない確率は(1−p)のn乗となり、nを大きくすれば0に収束する」。あたらない確率が０、つまり１発はあたる確率が１になるわけだから、数撃ちゃあたると相成り候。 確率論で考えてみると、これまでと違った世界が見えてきたりするんじゃないかなと思った21世紀最初のお正月でした。あっ、確率のことを考えてあげたのに、年末ジャンボ宝くじ３億円ははずれた。悔しい。恩知らずめ。 とにもかくにも、21世紀がみなさんにとって、よい世紀でありますように。 ◆書誌情報◆ 『カオスと偶然の数学 ランダムネス、確率、そして複雑性へ』 アイヴァース・ピーターソン著 今野紀雄監・高橋 佐良人訳 白揚社 四六判 / ３３１ｐ 2000.10 ￥３，２００ ●数学という名のＸ線が映し出す世界の面白さ 紛れもなく数学の話だが、ここに出てくる数学は日本の中学や高校で習う数学とはひと味違う。いろいろな現象や物事を観察したり、分析したりするときに、大きな武器となる数学を味わえる。 たとえば、夏の夜に涼やかさをもたらすホタル。漂う光の集まりは幻想的でもあり、美しい。ただ眺めているのもいいが、近くにいるホタルどうしが放つ光のリズムに同調していることを知れば、その不可思議さが気になってくる。ここで必要とされるのは、ホタル集団の数学モデルだ。うまくモデルが作れれば、ホタルの特徴を違った視点からも見ることができる。ほかにも、音だけからドラムの形を聞き分ける可能性を探ったり、ギャンブルに潜む数理を解きほぐしたり。話題の広がり方は想像を超える。 Ｘ線を使うと、人間の眼では見られない骨格など体の中を見ることができる。もしかしたら、数学はＸ線と同じように、人間の眼には見えないものを見させてくれるのかもしれない。 ＜目次＞ はじめに−−無限の可能性 第１章 ゲームと偶然 第２章 生命の海 第３章 貝殻ゲーム 第４章 ホタルの呼び声 第５章 ドラムの音 第６章 騒音警察 第７章 完全なカオス 第８章 さすらい人の足跡 第９章 数字でギャンブル 第10章 偶然の人生 付録 謝辞 参考文献 監訳者あとがき 索引 『確率』(図解雑学−絵と文章でわかりやすい！−) 今野紀雄著 ナツメ社 Ｂ６判 / ２１１ｐ 1997.10 ￥１，２００ ●だまされたくない人、損したくない人は一読の価値あり もともと図解本はあまり好きではなかった。しかし、いくつかの図解本を手にして、少しずつ見方が変わってきた。見開きを１単位として構成される図解本は、苦手意識が強い人にはやはりありがたいだろうし、本書は特に「不慣れな人にいい」と思わせた１冊だ。 確率の基本的な考え方を前半で説明し、後半では、実際の生活の中に登場する確率の話を紹介している。人気がでてきた新種のくじ「ナンバーズ」にも１章を割り当てる。ナンバーズとはどういうものか、実際に数字を並べて検証。当たり前の話だが、特別にうまい話はない。週刊誌で「ナンバーズ必勝法講座」なるものの宣伝を見かけたことがあるが、そういうものにはまっている人が近くにいたら、一緒にこの本を読むべきだ。 年末ジャンボ宝くじだって同じこと。どこで買っても当たるかどうかに変わりはない。そしてもちろん、買えば買うほどたしかに当たりやすくはなる。しかし「買えば買うほどお金が飛ぶことに気がつかなければいけない」という著者とともに、ぜひ確率的考察を。 ＜目次＞ はしがき Chapter1 確率とは何か Chapter2 場合の数 Chapter3 確率の基礎 Chapter4 ギャンブルに見る確率 Chapter5 ナンバーズの確率 Chapter6 日常生活にあらわれる確率 Chapter7 野球の確率 索引 『確率・統計入門』 小針 〓宏著 岩波書店 Ａ５判 / ３００ｐ 1980 ￥２，６００ ●つい確率で考えてみたくなる、確率・統計の個性的な教科書 漢字がでない著者の名前は、小針あき宏。「あき」は、日へんに見という字だ。相当に個性的な人物だったと伝え聞く。著者は、本書の原稿を書き上げた後、完成させる前に39歳の若さで亡くなった。最終的に、広中平祐、森毅など著者と親しかった数学者が仕上げを行った。 私の学生時代、本書は絶版だった。古本屋で手に入れた友人から見せてもらうと、他の教科書とはまったく違う。印象は、血の通った教科書。定義、命題、証明、例題と体裁はいかにも数学だが、その間に書かれている日本語が異彩を放つ。「最後のアハハに、すっかり毒気を抜かれて、３人は内ゲバする元気もなくなってしまった」とか、「仮定が明確でなければ、結論がさまざまになることは、憲法第９条に限ったことではない」なんて文章は、ほかでは到底お目にかかれない。「Ａ君は一目惚れの彼女に熱烈な手紙を出したが遂に返事はこなかった」で始まる練習問題も衝撃的だった。著者同様、個性的な内容ゆえ人によっては異論もあろう。時代も遷った。しかし、少し前に復刊されたのがとても嬉しい１冊だ。 読み進めるには、少なくとも集合論や微積の知識を必要とするので、数学は苦手という人には勧められない。それでも頑張って小針ワールドを体験してみたいという方には、物語風の『すべての人に数学を』(日本評論社)をお勧めする。 ＜目次＞ 序にかえて 第１章 確率モデル 第２章 確率に関する基本的概念 第３章 いろいろな分布とその解析 第４章 多変数の分布 第５章 正規分布 第６章 乱歩 第７章 標本の抽出 第８章 推定・検定 練習問題の解答 付表 あとがき 索引 |